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O que há em comum entre a bolha de sabão que uma criança assopra no ar, as ligas metálicas que sustentam uma construção e os arredores dos buracos negros que nos rondam? Há um elo invisível que os conecta: a matemática, uma ciência capaz de aproximar os mais diferentes fenômenos na busca por compreendê-los.
Ao pegar um arame com o formato de círculo e mergulhá-lo em uma mistura de água e sabão, uma película fina, flexível e resistente surgirá. À medida que se muda o formato do arame, altera-se também o formato da película. Calcular matematicamente o tamanho dessas diferentes estruturas que nascem a partir da experiência não é algo trivial.
“A tentativa de entender essas superfícies mínimas foi o que motivou a construção de áreas novas de pesquisa”, explica Pedro Henrique Gaspar Marques da Silva, 27 anos, formado em Matemática pelo Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação (ICMC) da USP, em São Carlos. “Os matemáticos têm sido desafiados a pensar sobre essas superfícies mínimas há mais de um século”, completa o rapaz, que está fazendo pós-doutorado na Universidade de Chicago, nos Estados Unidos.
Ele voltou ao ICMC no dia 27 de agosto para receber o Prêmio Carlos Gutierrez de Teses de Doutorado, que reconhece, a cada ano, a melhor tese em matemática defendida no Brasil no ano anterior. “Meu trabalho está no meio do caminho entre a geometria e as equações diferenciais. Aliás, os matemáticos construíram a ponte entre essas duas áreas exatamente para tentar entender as superfícies mínimas.”
Forças em equilíbrio
Mas o que torna as películas de sabão atraentes aos olhos dos matemáticos e aos olhos de Pedro, em especial? “Essas superfícies são resultado de um estado de equilíbrio de forças físicas: há pressão de um lado e de outro da película. E a forma final adquirida pela superfície é resultado do equilíbrio dessas forças.”
Nesse estado de equilíbrio, a película adquire também uma interessante propriedade geométrica: possui a menor área entre todas as superfícies que são limitadas por uma curva fechada. É daí que vem o nome desses objetos matemáticos: superfícies mínimas.
Há muitas situações do cotidiano em que as superfícies mínimas aparecem e os conhecimentos matemáticos da área podem ser aplicados. Pedro cita como exemplo o desafio de unir várias antenas, receptores ou radares, de maneira a otimizar a captação de sinais. Outro exemplo vem da arquitetura:
Imagine que você tem um palito na mão e vai girá-lo, sem completar a volta, e deslocá-lo para cima. A superfície que será criada pela trajetória descrita por esse palito é uma superfície mínima. Então, se eu fizer uma casa cujo telhado tem esse formato, terei que calcular matematicamente onde colocar as vigas para manter a estrutura em equilíbrio.”
O nome dessa simpática superfície descrita por Pedro é helicoide e, para recriá-la, basta modelar um arame em formato de espiral e mergulhá-lo no mesmo recipiente com água e sabão usado para produzir as bolhas.
Se você quiser pesquisar ainda mais as interessantes propriedades matemáticas desse estranho objeto, pode construí-lo usando palitos de picolé. Os palitos farão você visualizar com clareza que, em cada ponto do helicoide, passa uma reta, a qual está inteiramente contida nessa superfície mínima.
O helicoide de palitos de picolé foi um dos muitos experimentos que encantaram um grupo de estudantes do segundo ano do ensino médio da Escola Antonio Raimundo de Melo, na cidade de Carnaubal, no Ceará.
A pesquisadora Lucimara Andrade realizou uma série de atividades com esses alunos para discutir as propriedades básicas das superfícies mínimas. O projeto é fruto do mestrado profissional em matemática (PROFMAT) que Lucimara desenvolveu na Universidade Federal do Ceará, sob orientação do professor Marcelo Melo. O trabalho resultou também na publicação do artigo Superfícies mínimas e bolhas de sabão no Ensino Médio, na revista Thema.
Dimensões além
Se estudar as superfícies mínimas no planeta Terra já é desafiador, imagine só fazer isso em outro planeta. A questão parece totalmente fora de propósito, mas é usando essa brincadeira que Pedro nos lança para outras dimensões. “Uma criança entediada, que está em outro planeta, no qual há várias dimensões, resolve fazer uma bolha de sabão. Em vez de sair uma esfera voando, a bolha tem um formato estranho, que se parece com o que a gente chama de hipersuperfícies.”
Para entender uma hipersuperfície, precisamos mesmo usar nossa imaginação. Isso acontece porque, aqui na Terra, bastam três números para definirmos matematicamente os objetos tridimensionais que vemos: largura, profundidade e altura. Então, por que os matemáticos insistem em pensar em mais dimensões se no nosso mundo tem só três?
Pedro explica. “Cada dimensão pode ser considerada como uma quantidade que a gente quer medir. Imagine que vamos estudar o problema de uma empresa: ela quer minimizar o quanto gasta para produzir um produto e tem um monte de fatores para levar em consideração – custo de materiais, das pessoas, do transporte do material, do transporte do produto final até o local de venda etc. Bem, cada um desses fatores pode ser considerado como se fosse uma dimensão. Para tentar achar um valor ótimo, temos que estudar mais dimensões além de três.”
O que Pedro estudou em sua tese é justamente como o calcular o espaço ocupado pelas superfícies mínimas quando temos mais do que três dimensões. “Para criar uma liga de metal, por exemplo, várias substâncias são unidas e, olhando para o interior desse material, podemos localizar espaços em que as substâncias estão em equilíbrio. A superfície que aparece entre esses diferentes materiais se parece com aquelas que ocorrem nas bolhas de sabão.”
Ao receber o Prêmio Gutierrez pela tese de doutorado A equação de Allen-Cahn e aspectos variacionais de hipersuperfícies mínimas, defendida no Impa e orientada pelo professor Fernando Codá, Pedro se lembrou de seus primeiros passos em matemática. “Voltar para o ICMC é quase como voltar para casa. Foi realmente onde eu comecei a gostar de fazer matemática.”
Adaptado de Denise Casatti, da Assessoria de Comunicação do ICMC
Leia o texto original em www.icmc.usp.br/e/4dcf2
